09 高斯函数与离散高斯分布 整理日期：2026-10-16。01 格与格基 、02 基本区域、格行列式与正交化 。
设 Λ ⊆ R n \Lambda\subseteq\mathbb R^n Λ ⊆ R n
此前主要讨论格点的位置和长度。现在给每个格点赋予随距离衰减的权重，再将权重归一化，得到格上的概率分布。
1. 高斯函数与尺度参数
给定尺度参数 s > 0 s>0 s > 0 c ∈ R n c\in\mathbb R^n c ∈ R n
ρ s , c ( x ) = exp ( − π ∥ x − c ∥ 2 s 2 ) . \boxed{
\rho_{s,c}(x)
=
\exp\left(-\pi\frac{\|x-c\|^2}{s^2}\right).
} ρ s , c ( x ) = exp ( − π s 2 ∥ x − c ∥ 2 ) . 常用简记为
ρ s ( x ) = ρ s , 0 ( x ) , ρ ( x ) = ρ 1 ( x ) . \rho_s(x)=\rho_{s,0}(x),
\qquad
\rho(x)=\rho_1(x). ρ s ( x ) = ρ s , 0 ( x ) , ρ ( x ) = ρ 1 ( x ) . 中心处的权重为 1 1 1 s s s
这里沿用 Regev 的尺度约定，并加入中心平移。零中心的 ρ s \rho_s ρ s Regev《Lecture 9: Fourier Transform》，Fall 2004，PDF 第 3 页，Example 3 。
2. 连续高斯分布与标准差
高斯函数满足
∫ R n ρ s , c ( x ) d x = s n . \int_{\mathbb R^n}\rho_{s,c}(x)\,dx=s^n. ∫ R n ρ s , c ( x ) d x = s n . 因此，对它进行归一化，得到连续概率密度
f s , c ( x ) = 1 s n exp ( − π ∥ x − c ∥ 2 s 2 ) . \boxed{
f_{s,c}(x)
=
\frac{1}{s^n}
\exp\left(-\pi\frac{\|x-c\|^2}{s^2}\right).
} f s , c ( x ) = s n 1 exp ( − π s 2 ∥ x − c ∥ 2 ) . 零中心时的归一化形式见 Regev 的最坏情况到平均情况归约讲义，§2，PDF 第 2 页 ；平移中心不改变积分。
与通常的正态分布记号比较可得
X ∼ N ( c , s 2 2 π I n ) . X\sim
\mathcal N\left(c,\frac{s^2}{2\pi}I_n\right). X ∼ N ( c , 2 π s 2 I n ) . 所以，每个坐标的标准差 为
σ = s 2 π . \boxed{\sigma=\frac{s}{\sqrt{2\pi}}.} σ = 2 π s . 这个换算可以直接通过比较指数中的 π / s 2 \pi/s^2 π / s 2 1 / ( 2 σ 2 ) 1/(2\sigma^2) 1/ ( 2 σ 2 ) s s s σ \sigma σ
3. 格上的离散高斯分布
将高斯权重限制在格点上，定义其总质量
ρ s , c ( Λ ) = ∑ y ∈ Λ exp ( − π ∥ y − c ∥ 2 s 2 ) . \rho_{s,c}(\Lambda)
=
\sum_{y\in\Lambda}
\exp\left(-\pi\frac{\|y-c\|^2}{s^2}\right). ρ s , c ( Λ ) = y ∈ Λ ∑ exp ( − π s 2 ∥ y − c ∥ 2 ) . 这个和是有限的正数。格上的离散高斯分布记为 D Λ , s , c D_{\Lambda,s,c} D Λ , s , c
Pr X ∼ D Λ , s , c [ X = x ] = ρ s , c ( x ) ρ s , c ( Λ ) , x ∈ Λ . \boxed{
\Pr_{X\sim D_{\Lambda,s,c}}[X=x]
=
\frac{\rho_{s,c}(x)}
{\rho_{s,c}(\Lambda)},
\qquad x\in\Lambda.
} X ∼ D Λ , s , c Pr [ X = x ] = ρ s , c ( Λ ) ρ s , c ( x ) , x ∈ Λ. 格外点的概率为 0 0 0 c = 0 c=0 c = 0 D Λ , s D_{\Lambda,s} D Λ , s
这里的关键是：连续分布通过积分归一化，离散分布通过格点求和归一化。 分母 ρ s , c ( Λ ) \rho_{s,c}(\Lambda) ρ s , c ( Λ ) s n s^n s n
零中心、单位尺度的定义见 Micciancio《The Gaussians Distribution》，Fall 2019，PDF 第 7 页，Definition 4 ；上式按相同方式加入尺度和中心。
4. 中心、平移与几个必要的区分
由定义可以直接得到：
支撑集合由格决定。 改变 c c c Λ \Lambda Λ c c c c = 0 c=0 c = 0 x x x − x -x − x E [ X ] = 0 \mathbb E[X]=0 E [ X ] = 0 c ∈ Λ c\in\Lambda c ∈ Λ E [ X ] = c \mathbb E[X]=c E [ X ] = c 连续分布的标准差公式不能直接套用于离散分布。 离散高斯的各坐标方差还受到格点分布和中心位置的影响。
把中心平移到原点时，支撑集合也会相应平移：
ρ s , c ( Λ ) = ρ s ( Λ − c ) , Λ − c = { x − c : x ∈ Λ } . \rho_{s,c}(\Lambda)=\rho_s(\Lambda-c),
\qquad
\Lambda-c=\{x-c:x\in\Lambda\}. ρ s , c ( Λ ) = ρ s ( Λ − c ) , Λ − c = { x − c : x ∈ Λ } . 用同样的归一化方式定义平移格上的离散高斯，则
X ∼ D Λ , s , c ⟹ X − c ∼ D Λ − c , s . X\sim D_{\Lambda,s,c}
\quad\Longrightarrow\quad
X-c\sim D_{\Lambda-c,s}. X ∼ D Λ , s , c ⟹ X − c ∼ D Λ − c , s . 还需要区分离散高斯与“连续高斯取整”。以整数格为例，连续样本取整到整数 k k k [ k − 1 2 , k + 1 2 ) [k-\tfrac12,k+\tfrac12) [ k − 2 1 , k + 2 1 ) k k k
5. 一个一维例子
取
Λ = Z , c = 0 , s = 1. \Lambda=\mathbb Z,\qquad c=0,\qquad s=1. Λ = Z , c = 0 , s = 1. 则
Pr [ X = k ] = e − π k 2 ∑ j ∈ Z e − π j 2 . \Pr[X=k]
=
\frac{e^{-\pi k^2}}
{\displaystyle\sum_{j\in\mathbb Z}e^{-\pi j^2}}. Pr [ X = k ] = j ∈ Z ∑ e − π j 2 e − π k 2 . 归一化因子为
ρ 1 ( Z ) = 1 + 2 e − π + 2 e − 4 π + ⋯ ≈ 1.08643. \rho_1(\mathbb Z)
=
1+2e^{-\pi}+2e^{-4\pi}+\cdots
\approx1.08643. ρ 1 ( Z ) = 1 + 2 e − π + 2 e − 4 π + ⋯ ≈ 1.08643. 由此算得
Pr [ X = 0 ] ≈ 0.92044 , \Pr[X=0]\approx0.92044, Pr [ X = 0 ] ≈ 0.92044 , Pr [ X = 1 ] = Pr [ X = − 1 ] ≈ 0.03978. \Pr[X=1]=\Pr[X=-1]\approx0.03978. Pr [ X = 1 ] = Pr [ X = − 1 ] ≈ 0.03978. 这个例子中，大部分概率集中在 0 0 0 s s s
6. 与后续内容的联系
离散高斯由 Λ , s , c \Lambda,s,c Λ , s , c
接下来关注的量是格上的高斯总质量，例如
ρ s ( Λ ) = ∑ x ∈ Λ e − π ∥ x ∥ 2 / s 2 . \rho_s(\Lambda)=\sum_{x\in\Lambda}e^{-\pi\|x\|^2/s^2}. ρ s ( Λ ) = x ∈ Λ ∑ e − π ∥ x ∥ 2 / s 2 . 下一篇通过傅里叶变换和 Poisson 求和公式，将原格上的这类求和与对偶格联系起来；随后再用平滑参数描述高斯尺度足够大时的行为。
引用此笔记
